一般来说(shuō)，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得(dé)到一(yī)个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数(shù)y=f(x)(x∈A)的反函(hán)数，记作y=f-1(x) 。

　　反函数(shù)y=f-1(x)的定义域、值域(yù)分别是函数y=f(x)的值域(yù)、定义域。

　　最具有(yǒu)代表性的反函数(shù)就是对数(shù)函数与指数函数。

　　函数f(x)与它(tā)的反函(hán)数f-1(x)图象(xiàng)关于直线y=x对称；

　　函数及其反函数(shù)的图(tú)形关(guān)于(yú)直线(xiàn)y=x对(duì)称；

　　函数存在反函数的充要(yào)条件是，函数的定(dìng)义(yì)域与值域是一(yī)一映射等(děng)。

　　反函数性质：函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于(yú)直线y=x对称；

　　函(hán)数及其反函数的图形关于直线y=x对(duì)称；

　　函数(shù)存在反函数的充(chōng)要条(tiáo)件是，函数的定(dìng)义域与值域是(shì)一一映射的。

　　1、反函数的定义域是(shì)原函数(shù)的(de)值域，反函数的值(zhí)域是原(yuán)函数的定义(yì)域(yù)。

　　2、互为反函(hán)数的两个(gè)函数的图像关于直线y=x对称。

　　3、原函数(shù)若(ruò)是奇函(hán)数(shù)，则其反函数为(wèi)奇函(hán)数。

　　4、若函数是单(dān)调函数，则一定有反函数，且(qiě)反函数(shù)的单调性(xìng)与原函(hán)数的一(yī)致(zhì)。

　　5、原函(hán)数(shù)与反函数(shù)的图像若有交点，则(zé)交点一定在直线y=x上(shàng)或关于直线y=x对称出现(xiàn)。

反函数有(yǒu)哪些性质

　　性质：

　　（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直(zhí)线y=x对称；

　　（2）函(hán)数存(cún)在(zài)反函数的充(chōng)要条(tiáo)件是，函数的定(dìng)义域与(yǔ)值域是一一映射；

　　（3）一(yī)个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

　　（4）大部分偶函(hán)数不存(cún)在反(fǎn)函数（当(dāng)函(hán)数y=f(x)， 定义(yì)域(yù)是{0} 且 f(x)=C （其中C是常(cháng)数），则函数f(x)是偶函数且(qiě)有反函数，其(qí)反函数的定义(yì)域是{C}，值域为(wèi){0} ）。

　　奇函数(shù)不一(yī)定存在反函数(shù)，被(bèi)与(yǔ)y轴垂(chuí)直的直线截时能(néng)过(guò)2个及以上点即没有(yǒu)反(fǎn)函数。

　　腔神若一个奇函数存在(zài)反函数(shù)，则它的反函数(shù)也是(shì)奇森圆(yuán)穗函数(shù)。

　　（5）一(yī)段(duàn)连续的(de)函数的单调性在对应区间内具有一致性；

　　（6）严(yán)增（减）的函数一定有严(yán)格增（减）的反函数；

　　（7）反函数是相互(hù)的且具有唯一性；

　　（8）定(dìng)义域、值域(yù)相反对(duì)应(yīng)法(fǎ)则互(hù)逆（三反）；

　　（9）反函(hán)数的导数关系：如(rú)果x=f(y)在开区间I上严(yán)格单调(diào)，可导，且f(y)≠0，那(nà)么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内(nèi)也可导(dǎo)，且：

　　（10）y=x的反(fǎn)函数是(shì)它本身。

　　扩此(cǐ)卜展资料：

　　反函数(shù)定义：

　　设(shè)函数y=f(x)的定义域(yù)是D，值域是f(D)。

　　如果对于值域f(D)中(zhōng)的每(měi)一个y，在D中有且只有一个x使得f(x)=y，则按此对应(yīng)法(fǎ)则(zé)得(dé)到(dào)了一个(gè)定(dìng)义在(zài)f(D)上的(de)函数。

　　并(bìng)把该函数称为函数y=f(x)的反函数，记为由该定义可以很快得出函数f的(de)定义域D和(hé)值域(yù)f(D)恰好就是反函数(shù)f-1的值域和(hé)定(dìng)义域，并且f-1的反函(hán)数就是f，也就是说，函(hán)数(shù)f和f-1互为(wèi)反函(hán)数，即：

　　反(fǎn)函数与(yǔ)原函数的复(fù)合函数等于x，即：

　　习惯上我(wǒ)们用x来表示自变量(liàng)，用y来(lái)表示因变(biàn)量，于是函数y=f(x)的反函数通常(cháng)写(xiě)成

　　 。

　　例如，函数(shù)  

　　的反(fǎn)函数是  。

　　相对于反函数(shù)y=f-1(x)来(lái)说，原来(lái)的函数(shù)y=f(x)称为直接函数(shù)。

　　反(fǎn)函数和直接(jiē)函数的图像(xiàng)关于直线y=x对(duì)称。

　　这是因为，如(rú)果设(shè)(a,b)是y=f(x)的图像上(shàng)任(rèn)意一点，即b=f(a)。

　　根据反函数的(de)定义，有(yǒu)a=f-1(b)，即(jí)点(b,a)在反函数y=f-1(x)的图像(xiàng)上。

　　而点(a,b)和(b,a)关于直线y=x对称，由(a,b)的任意(yì)性可知f和(hé)f-1关于y=x对(duì)称。

　　于是我(wǒ)们(men)可以知(zhī)道，如(rú)果两(liǎng)个函数的图(tú)像(xiàng)关于y=x对称，那么这两个函数互(hù)为反函(hán)数。

　　这也可以看(kàn)做是反函(hán)数的一个几何定义(yì)。

　　在微积分里(lǐ)，f (n)(x)是用来(lái)指(zhǐ)f的n次微(wēi)分(fēn)的。

　　若一(yī)函数有(yǒu)反函(hán)数，此函数便(biàn)称(chēng)为可逆(nì)的（invertible）。

　　参考资(zī)料(liào)：百(bǎi)度(dù)百科---反函(hán)数

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